Hace poco, mientras leía el libro del último teorema de Fermat me encontré con el siguiente párrafo

Me pareció un resultado interesante y al leer la demostración me gustó aún más, pues involucra muchos temas que me gustan. A continuación voy a «platicar» un poco como se construye la prueba de este resultado y al final dejaré una liga a un PDF con una prueba más seria.


Teorema: El único número entre un cuadrado perfecto y un cubo perfecto es 26.

Demostración:

Podemos escribir dicha declaración como :

Si n_0\in\mathbb{N} con n_0-1=a^2 y n_0+1=b^3, entonces n_0=26, a=5, b=3.

Podemos restar nuestras dos igualdades y así obtener -2=a^2-b^3 y llegar a una ecuacion diofantina. Solucionar este tipo de ecuaciones no siempre es fácil.

-2=a^2-b^3\Rightarrow b^3=a^2+2

Podemos factorizar a^2+2=(a+i\sqrt{2})(a-i\sqrt{2}) , por lo tanto b^3=(a+i\sqrt{2})(a-i\sqrt{2}). Recordemos que para saber si una ecuación diofantina tiene solución debemos tener informacion acerca de \text{gcd}, es decir, debemos encontrar el gcd de (a+i\sqrt{2}) y (a-i\sqrt{2}). Esto hace el problema más interesante, pues ahora nos vemos obligados a trabajar en \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]. Lo importante a recalcar es que 2 es un número de Heegner, es decir, los números en \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] tienen factorización única. (Estamos acostumbrados a la factorización única, por el teorema fundamental de la aritmética en \mathbb{N}, pero esto no siempre se cumple; por ejemplo, en \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] se tiene que 6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}), es decir, no tenemos factorización única).

Es claro que \text{gcd}(a+i\sqrt{2},a-i\sqrt{2})|i\sqrt{2}; por lo tanto, si i\sqrt{2}\nmid a podemos afirmar que \text{gcd}(a+i\sqrt{2},a-i\sqrt{2})=1.

Tenemos dos casos, \text{gcd}(a+i\sqrt{2},a-i\sqrt{2}) o \sqrt{-2}|a . Vamos a suponer que i\sqrt{2}|a, llegando a una contradicción y así concluir que \text{gcd}(a+i\sqrt{2},a-i\sqrt{2})=1.

Caso 1: i\sqrt{2}|a .

Si i\sqrt{2}|a\Rightarrow (0+i\sqrt{2})|(a+0i)\Rightarrow (0^2+\sqrt{2}^2)|(a^2+0^2)\Rightarrow 2|a. Es decir a es par.

Tenemos dos casos:

Caso i) a es par y b es par. Entonces escribimos a^2+2=b^3 como : (2\alpha)^2+2=(2\beta)^3, desarrollando llegamos a que 2\alpha^2+1=4\beta^3 y esto no es posible en \mathbb{Z}.

Caso ii) a es par y b es impar. Escribimos a^2+2=b^3 como: 4\alpha^2+2=(2\beta +1)^3, desarrollando se llega a 2(2\alpha^2+1)=2(4\beta^3+6\beta^2+3\beta)+1 y esto no es posible en \mathbb{Z}.

Es decir, a no puede ser par, entonces es impar, y ya que b^3-a^2=2 entonces ambos (a y b) deben ser impares.

Por lo tanto podemos afirmar el caso 2: \text{gcd}(a+i\sqrt{2},a-i\sqrt{2})=1.

Veamos ahora que a+\sqrt{-2}=(r+t\sqrt{-2})^3 (es un cubo en \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]) :

(r+t\sqrt{-2})^3=r^3+3r^2t\sqrt{-2}-6rt^2-2t^3\sqrt{-2}

=(r^3-6rt^2)+(3r^2t-2t^3)\sqrt{-2}.

De aquí podemos deducir dos igualdades

1.-(3r^2t-2t^3)=1

2.-(r^3-6rt^2)=a

Trabajemos con la ecuacion 1

(3r^2 t-2t^3)=t(3r^2-2t^2)=1. Recordemos que en \mathbb{Z} si el producto de dos números es 1 entonces ambos son 1 o -1. Por lo que t=\pm 1, del mismo modo (3r^2-2t^2)=\pm 1. Además si importar el signo t^2=1.

Ya que t^2=1 entonces 3r^2-2t^2=3r^2-2=\pm 1\Rightarrow 3r^2=2\pm 1. Claramente 3r^2=1 es imposible en \mathbb{Z}, por lo tanto r=\pm 1.

Usando la ecuación 2 llegamos a dos posibilidades

a=(1)^3-6(1)=-5 o a=(-1)^3-6(-1)=5. Nos quedamos con nuestra opción positiva. Es decir a=5.

Finalmente en la ecuación inicial obtenemos 5^2+2=27=b^3\Rightarrow  b=\sqrt[3]{27}=3.

Esto prueba el teorema ■.


Para ver una prueba distinta (y a mi parecer más completa) puede descargar un PDF aquí.


Para finalizar, como curiosidad vale la pena mencionar que este resultado Fermat no lo demostró (que raro).

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